"לנצח ומעבר!"
האם בכלל חשבתם לעומק על ביטוי התפיסה המפורסם של Buzz Lightyear מסרטי "צעצוע של סיפור"? כנראה שלא. אבל אולי הבטת לפעמים לשמי הלילה ותהית על טבע האינסוף עצמו.
אינסוף הוא מושג מוזר, כזה שהמוח האנושי מתקשה לעטוף את ההבנה המוגבלת שלו סביבו. אנו אומרים שהיקום עשוי להיות אינסופי, אך האם הוא באמת יכול להימשך לנצח? או הספרות של pi אחרי העשרון - האם הן בעצם ממשיכות בלי סוף, תמיד נותנות לנו הרבה יותר דיוק לגבי היחס בין היקף מעגל לרדיוס? וגם, האם באז יכול להיות צודק? האם יש משהו מעבר לאינסוף?
כדי להתמודד עם הספקולציות המכפיפות את המוח, גייס מדע חי את עזרתו של המתמטיקאי הנרי טוזנר מאוניברסיטת פנסילבניה בפילדלפיה, שהיה טוב לב לנסות לענות על השאלה, "האם אתה יכול לספור אינסוף עבר?" (יש להיזהר! זה הולך להיות מסובך.)
אינסוף, אמר טוזנר, יושב במקום מוזר: רוב האנשים מרגישים שיש להם אינטואיציה מסוימת לגבי הקונספט, אבל ככל שהם חושבים על זה, זה מתרבה יותר.
מתמטיקאים, לעומת זאת, לא חושבים לעתים קרובות על האינסוף כמושג בפני עצמו, הוסיף. במקום זאת, הם משתמשים בדרכים שונות לחשוב על זה כדי להשיג את ההיבטים הרבים שלה.
למשל, ישנם גדלים שונים של אינסוף. זה הוכיח על ידי המתמטיקאי הגרמני ג'ורג 'קנטור בשלהי 1800, על פי היסטוריה מאוניברסיטת סנט אנדרוז בסקוטלנד.
החזן ידע שהמספרים הטבעיים - כלומר מספרים שלמים וחיוביים כמו 1, 4, 27, 56 ו 15,687 - נמשכים לנצח. הם אינסופיים, והם גם הדברים שאנו משתמשים בהם כדי לספור דברים, ולכן הוא הגדיר אותם כ"אין סופיים ", על פי אתר מועיל להיסטוריה, מתמטיקה ונושאים אחרים של הקריקטוריסט החינוכי צ'ארלס פישר קופר.
לקבוצות של מספרים אינסופיים יש כמה מאפיינים מעניינים. למשל, המספרים השווים (2, 4, 6 וכו ') הם גם אינסופיים. ובעוד מבחינה טכנית יש כמחציתם הרבה יותר ממה שמקיף את כל המספרים הטבעיים, הם עדיין אותו סוג אינסופי.
במילים אחרות, אתה יכול למקם את כל המספרים השווים ואת כל המספרים הטבעיים זה לצד זה בשתי עמודות ושתי העמודות יעברו לאינסוף, אך הן באותו "אורך" של אינסוף. זה אומר שמחצית האינסוף הספירה הוא עדיין אינסוף.
אבל התובנה הגדולה של קנטור הייתה להבין שיש עוד קבוצות של מספרים שהם אין סופיים. המספרים האמיתיים - הכוללים את המספרים הטבעיים כמו גם שברים ומספרים לא הגיוניים כמו pi - הם אינסופיים יותר מהמספרים הטבעיים. (אם תרצה לדעת איך קנטור עשה את זה ויכול להתמודד עם סימון מתמטי כלשהו, תוכל לבדוק את גליון העבודה הזה מאוניברסיטת מיין.)
אם היית מסדרג את כל המספרים הטבעיים ואת כל המספרים האמיתיים זה לצד זה בשתי עמודות, המספרים האמיתיים היו נמתחים מעבר לאין סוף של המספרים הטבעיים. מאוחר יותר השתגע קנטור, ככל הנראה מסיבות שאינן קשורות לעבודתו על האינסוף, לפי קופר.
מה הספירה?
אז בחזרה לשאלת ספירת אינסוף העבר. "מה שהמתמטיקה גורמת לך לשאול, 'מה זה באמת אומר?', אמר טוזנר. "למה אתה מתכוון לספור אינסוף עבר?"
כדי לגלות את הנושא, טוזנר דיבר על המספרים הקבועים. שלא כמו מספרים קרדינליים (1, 2, 3 וכן הלאה), המספרים לך כמה דברים נמצאים בסט, מסדרים מוגדרים לפי עמדותיהם (ראשונה, שנייה, שלישית וכו '), והם הוכנסו גם למתמטיקה על ידי חזן, על פי אתר המתמטיקה וולפרם MathWorld.
במספרים הקבועים נמצא מושג הנקרא אומגה, המוצג על ידי האות היוונית ω, אמר טוזנר. הסמל ω מוגדר כדבר שבא אחרי כל המספרים הטבעיים האחרים - או, כמו שכינה אותו קנטור, המנהג הנגמר הראשון.
אבל אחד הדברים שבמספרים הוא שתמיד אפשר להוסיף עוד אחד בסוף, אמר טוזנר. אז יש דבר כזה ω + 1, ו- ω + 2 ואפילו ω + ω. (למקרה שאתה תוהה, בסופו של דבר פגעת במספר שנקרא ω1, שידוע כמסדר הראשון שלא ניתן לספור).
ומכיוון שספירה דומה לסוג של הוספת מספרים נוספים, מושגים אלה מאפשרים לך לספור אינסוף בעבר, אמר טוזנר.
המוזרות של כל זה היא חלק מהסיבה שהמתמטיקאים מתעקשים להגדיר באופן קפדני את תנאיהם, הוסיף. אלא אם הכל בסדר, קשה להפריד בין האינטואיציה האנושית הרגילה שלנו לבין מה שניתן להוכיח באופן מתמטי.
"המתמטיקה אומרת לך, 'מבט פנימי, מה קובע?', אמר טוזנר.
עבורנו בני תמותה גרידא, רעיונות אלה עשויים להיות קשים למחשבה מלאה. איך בדיוק מתמטיקאים עובדים מתמודדים עם כל העסק המצחיק הזה במחקר היומיומי שלהם?
"הרבה זה תרגול," אמר טוזנר. "אתה מפתח אינטואיציות חדשות עם חשיפה, וכאשר האינטואיציה נכשלת, אתה יכול להגיד 'אנחנו מדברים על ההוכחה המדויקת הזו שלב אחר שלב.' אז אם ההוכחה הזו מפתיעה, אנחנו עדיין יכולים לבדוק שהיא נכונה, ואז ללמוד לפתח אינטואיציה חדשה סביב זה. "
