בואו נדון בעצם הקוסמוס. כשאתה נכנס לשיחה על היקום בכללותו, אתה יכול לדמיין סיפור מלא באירועים מופלאים כמו התמוטטות כוכבים, התנגשויות גלקטיות, התרחשויות מוזרות עם חלקיקים, ואפילו התפרצויות אנרגיות קטקסמיות. יתכן שאתה מצפה לסיפור הממתח את רוחב הזמן כפי שאנו מבינים אותו, החל מהמפץ הגדול ונחת אותך כאן, עינייך ספוגות בפוטונים שנפלטים מהמסך שלך. כמובן שהסיפור מפואר. אבל יש צד נוסף למגוון המדהים הזה של אירועים שלא פעם מתעלמים מהם; זה עד שאתה באמת מנסה להבין מה קורה. מאחורי כל אותם מימושים פנטסטיים, ישנו מנגנון בעבודה המאפשר לנו לגלות את כל מה שאתה נהנה ללמוד עליו. מנגנון זה הוא מתמטיקה, ובלעדיו היקום עדיין היה אפוף בחושך. במאמר זה אנסה לשכנע אותך כי מתמטיקה אינה משימה נפשית שרירותית ולעיתים חסרת טעם, שהחברה מצליחה להיות בה, ובמקום זאת להראות לך שזו שפה שאנו משתמשים בה כדי לתקשר עם הכוכבים.
אנו כרגע כרוכים במערכת השמש שלנו. אמירה זו טובה למעשה מכפי שהיא נשמעת, שכן הקשור למערכת השמש שלנו הוא צעד אחד חשוב מלהיות כבול פשוט לכוכב הלכת שלנו, כמו שהיינו
לפני כמה מוחות חשובים מאוד בחרו להפנות את גאוניהם לשמיים. לפני כאלה כמו גלילאו, שכיוונו את משקפיו לכיוון השמיים, או שקפלר גילה שכוכבי לכת נעים סביב השמש באליפסות, או שניוטון מגלה קבוע כבידה, המתמטיקה הייתה מעט מוגבלת, וההבנה שלנו של היקום בורה למדי. בבסיסה מתמטיקה מאפשרת למין הקשור למערכת השמש שלה לחקור את מעמקי הקוסמוס מאחורי שולחן הכתיבה. כעת, על מנת להעריך את הפלא שזוהי מתמטיקה, עלינו קודם כל לחזור אחורה ולהסתכל בקצרה על ראשיתו וכיצד היא קשורה באופן אינטגרלי בעצם קיומנו.
מתמטיקה כמעט ודאי הגיעה משבטים אנושיים קדומים מאוד (לפני התרבות הבבלית המיוחסת לחלק מהמתמטיקה המאורגנת הראשונה בהיסטוריה המתועדת), שאולי השתמשו במתמטיקה כדרך לעקוב אחר מחזורי ירח או שמש, ושמירה על ספירת בעלי חיים, אוכל ו / או אנשים על ידי מנהיגים. זה טבעי כמו כשאתה ילד קטן אתה יכול לראות שיש לך
צעצוע אחד פלוס צעצוע אחר, כלומר יש לך יותר צעצוע אחד. ככל שמתבגרים, מפתחים את היכולת לראות ש- 1 + 1 = 2, וכך נראה אריתמטיקה פשוטה שזורה בעצם הטבע שלנו. אלה הטוענים כי אין להם מחשבה למתמטיקה טועים למרבה הצער כי כמו שלכולנו יש נפש לנשימה, או למצמץ, לכולנו יש יכולת מולדת זו להבין חשבון. מתמטיקה היא גם התרחשות טבעית וגם מערכת מעוצבת אנושית. נראה שהטבע מעניק לנו את היכולת הזו לזהות דפוסים בצורה של חשבון ואז אנו בונים באופן שיטתי מערכות מתמטיות מורכבות יותר שאינן ברורות באופיין, אך מאפשרים לנו להמשיך לתקשר עם הטבע.
כל זאת בצד, המתמטיקה התפתחה לצד ההתפתחות האנושית והמשיכה באופן דומה עם כל תרבות שפיתחה אותה בו זמנית. זו תצפית נפלאה לראות כי תרבויות שלא היו בהן קשר זו עם זו מפתחות מבנים מתמטיים דומים מבלי לשוחח. עם זאת, רק לאחר שהמין האנושי החליט להפנות את הפלא המתמטי שלהם לכיוון השמיים, המתמטיקה באמת החלה להתפתח בצורה מדהימה. לא בכדי צירוף מקרים, המהפכה המדעית שלנו הונעה על ידי התפתחות מתמטיקה מתקדמת יותר שנבנתה לא כדי לספר כבשים או אנשים, אלא כדי לקדם את הבנתנו את מקומנו ביקום. ברגע שגלילאו התחיל למדוד את השיעורים שבהם נפלו חפצים בניסיון להראות מתמטית שמסת האובייקט לא קשורה כמעט למהירות שנפלה, עתיד האנושות ישתנה לנצח.
כאן נקשרת הפרספקטיבה הקוסמית לרצון שלנו לקדם את הידע המתמטי שלנו. אלמלא מתמטיקה, עדיין היינו חושבים שאנחנו על אחד מכוכבי לכת מעטים שמקיפים כוכב בין רקע אורות לכאורה חסרי תנועה. זו השקפה עגומה למדי כיום בהשוואה למה שאנחנו מכירים כיום
על היקום הגדול ביותר שאנו חיים בו. רעיון זה של היקום המניע אותנו להבין יותר על מתמטיקה ניתן לכתב כיצד יוהנס קפלר השתמש במה שהוא צפה בכוכבי הלכת, ואז החיל מתמטיקה עליו כדי לפתח מודל די מדויק (וגם שיטה לחיזוי תנועה פלנטרית) של מערכת השמש. זו אחת ההדגמות הרבות שממחישות את חשיבות המתמטיקה בהיסטוריה שלנו, במיוחד בתחום האסטרונומיה והפיזיקה.
סיפור המתמטיקה הופך להיות מדהים עוד יותר כשאנחנו דוחפים קדימה לאחד ההוגים המתקדמים ביותר שהאנושות הכירה אי פעם. סר איזק ניוטון, כשחשב על תנועות השביט של האלי, הבין כי המתמטיקה ששימשה עד כה לתיאור תנועה פיזית של מסיבי
גופות, פשוט לא יספיקו אם היינו מבינים אי פעם משהו מעבר לזה של שמימתנו השמימית לכאורה. במופע של הברקות טהורות שמעניק תוקף לאמירה הקודמת שלי לגבי האופן בו אנו יכולים לקחת את מה שיש לנו באופן טבעי ואז לבנות עליה מערכת מורכבת יותר, פיתח ניוטון את החשבון אשר דרך זו להתקרב לגופים נעים, הוא הצליח במדויק מדגם את תנועתו של לא רק שביטו של האלי, אלא גם כל גוף שמימי אחר שזז מעבר לשמיים.
ברגע אחד, כל היקום שלנו נפתח לפנינו, ונפתח בפנינו יכולות כמעט בלתי מוגבלות לשוחח עם הקוסמוס כמו שלא היה מעולם. ניוטון הרחיב גם את מה שקפלר התחיל. ניוטון זיהה כי המשוואה המתמטית של קפלר לתנועה פלנטרית, החוק השלישי של קפלר (P2= א3 ), היה מבוסס אך ורק על התבוננות אמפירית, ונועד רק למדוד את מה שצפינו במערכת השמש שלנו. ההברקה המתמטית של ניוטון הייתה בהבנה כי ניתן להפוך את המשוואה הבסיסית הזו לאוניברסלית על ידי החלת קבוע כבידה על המשוואה, בה הולידה אולי את אחת המשוואות החשובות ביותר שנגזרו אי פעם על ידי האנושות; הגרסה של ניוטון לחוק השלישי של קפלר.
מה שניוטון הבין שכאשר הדברים נעים בדרכים לא ליניאריות, שימוש באלגברה בסיסית לא יביא את התשובה הנכונה. להלן אחד ההבדלים העיקריים בין אלגברה לחשבון. אלגברה מאפשרת למצוא את השיפוע (קצב שינוי) של קווים ישרים (קצב שינוי קבוע) ואילו חישוביות מאפשרות למצוא את שיפוע הקווים המעוקלים (קצב שינוי משתנה). יש כמובן הרבה יותר יישומים של חשבון אלא רק זה, אבל אני רק מדגים הבדל מהותי בין השניים בכדי להראות לכם עד כמה המהפכני היה הרעיון החדש הזה. בבת אחת תנועותיהם של כוכבי לכת וחפצים אחרים המקיפים את השמש הפכו למדידות יותר מדויקות, וכך צברנו את היכולת להבין את היקום קצת יותר עמוק. בהתייחסנו לגרסת Netwon לחוק השלישי של קפלר, כעת הצלחנו ליישם (ועדיין לעשות) את משוואת הפיזיקה המדהימה הזו כמעט על כל דבר שמקיף משהו אחר. ממשוואה זו אנו יכולים לקבוע את המסה של אחד מהאובייקטים, את המרחק זה מזה זה מזה, את כוח הכובד המופעל בין השניים, ותכונות פיזיות אחרות שנבנו מחישובים פשוטים אלה.
בהבנתו את המתמטיקה, ניוטון הצליח להפיק את קבוע הכבידה האמור לעיל עבור כל האובייקטים ביקום (G = 6.672 × 10-11 N m2 ק"ג-2 ). קבוע זה איפשר לו לאחד אסטרונומיה ופיזיקה שאיפשרו אז תחזיות לגבי אופן התרחשות היקום. כעת נוכל למדוד את המוני כוכבי הלכת (והשמש) בצורה מדויקת יותר, פשוט על פי הפיזיקה הניוטונית (נקרא כך לכבוד בדיוק עד כמה ניוטון היה חשוב בפיזיקה ומתמטיקה). כעת נוכל להחיל את השפה החדשה הזו על הקוסמוס, ולהתחיל לכפות אותה כדי לגלות את סודותיה. זה היה רגע מכונן עבור האנושות, בכך שכל אותם דברים שאסרו על ההבנות שלנו לפני צורה חדשה זו של מתמטיקה היו עכשיו בהישג ידנו, מוכנים להתגלות. זו הברק של הבנת החשבון, בכך שאתה מדבר את שפת הכוכבים.
יתכן שלא ניתן להמחיש טוב יותר את הכוח שהעניקה לנו המתמטיקה אז בגילוי הכוכב נפטון. עד לגילויו בספטמבר 1846, כוכבי לכת התגלו פשוט על ידי התבוננות ב"כוכבים "מסוימים שנעים על רקע כל הכוכבים האחרים באופנים משונים. המונח כוכב לכת הוא יווני עבור "נודד", מכיוון שכוכבים מוזרים אלה נדדו בשמים בדפוסים בולטים בתקופות שונות של השנה. ברגע שהטלסקופ הופנה לראשונה כלפי מעלה לכיוון השמיים על ידי גלילאו, נודדים אלה החליטו לעולמות אחרים שנראו כמו שלנו. אם כן, נראה כי חלק מהעולמות הללו היו מערכות סולריות קטנות עצמן, כפי שגילה גלילאו כשהחל להקליט את ירחי יופיטר כשהם סובבים סביבו.
אחרי שניוטון הציג את משוואות הפיזיקה שלו בפני העולם, המתמטיקאים היו מוכנים ונרגשים להתחיל ליישם אותם על מה שעברנו אחריו במשך שנים. זה כאילו צמאנו לידע ולבסוף מישהו הדליק את הברז. התחלנו למדוד את תנועות הכוכבים ולצבור דגמים מדויקים יותר להתנהגותם. השתמשנו במשוואות אלה בכדי לקרב את מסת השמש. הצלחנו לבצע תחזיות מדהימות שתוקפות פעם אחר פעם פשוט על ידי התבוננות. מה שעשינו היה חסר תקדים, מכיוון שאנו משתמשים במתמטיקה בכדי להפוך כמעט בלתי אפשרי לדעת תחזיות שתחשבו שלעולם לא נוכל לבצע מבלי שנלך למעשה לכוכבי הלכת האלה, ואז השתמשנו בתצפית בפועל כדי להוכיח את המתמטיקה נכונה. עם זאת, מה שעשינו התחיל להבין כמה אי-התאמות מוזרות עם דברים מסוימים. אורנוס, למשל, התנהג לא כמו שצריך על פי חוקי ניוטון.
מה שהופך את גילויו של נפטון למופלא כל כך היה האופן בו התגלה. מה שעשה ניוטון היה לחשוף שפה עמוקה יותר של הקוסמוס, בה היקום הצליח לגלות לנו יותר. וזה בדיוק מה שקרה כשהחלנו את השפה הזו למסלול האורנוס. האופן בו אורנוס הסתובב היה סקרן ולא התאים למה שהיה צריך להיות לו זה היה הכוכב היחיד שנמצא הרחק מהשמש. כשמסתכלים על המספרים היה צריך להיות שם משהו אחר שמפריע למסלולו. עכשיו, לפני התובנות והחוקים המתמטיים של ניוטון, לא הייתה לנו סיבה לחשוד שמשהו לא בסדר במה שצפינו. אורנוס הקיף את הדרך בה אוראנוס הקיף אותו; זה היה בדיוק איך שהיה. אבל, שוב ושוב ושוב לבחון את התפיסה של מתמטיקה שהיא דיאלוג הולך וגובר עם היקום, ברגע ששאלנו את השאלה במתכונת הנכונה, הבנו שבאמת צריך להיות משהו אחר מעבר למה שלא יכולנו לראות. זה היופי של המתמטיקה שכתבה גדולה; שיחה מתמשכת עם היקום בה מתגלה יותר ממה שאפשר לצפות.
זה הגיע למתמטיקאי הצרפתי אורבין לה ורייר שהתיישב ועבד בקפדנות באמצעות המשוואות המתמטיות של מסלול אורנוס. מה שהוא עשה היה להשתמש במשוואות המתמטיות של ניוטון לאחור, והבין שחייב להיות שם חפץ מעבר למסלולו של אורנוס שגם הוא מקיף את השמש,
ואז מחפשים ליישם את המסה והמרחק הנכונים שהאובייקט הבלתי נראה שנדרש כדי להפריע את מסלולו של אורנוס באופן בו התבוננו. זה היה פנומנלי, כאשר השתמשנו בקלף ודיו כדי למצוא כוכב לכת שאיש מעולם לא צפה בפועל. מה שהוא מצא הוא שחפץ, שעוד מעט יהיה נפטון, צריך להיות במסלול מרחק מסוים מהשמש, עם המסה הספציפית שתגרום לאי סדרים במסלול האורבני של אורנוס. סמוך לחישובים המתמטיים שלו, הוא לקח את המספרים שלו למצפה הברלין החדש, שם האסטרונום יוהן גוטפריד גאלה נראה בדיוק איפה החישובים של Verrier אמרו לו להסתכל, ושם שכב כוכב הלכת השמיני והאחרון של מערכת השמש שלנו, פחות מעלה אחת מעל משם אמרו לו החישובים של ורייר להסתכל. מה שקרה זה עתה, היה אישור מדהים לתורת הכבידה של ניוטון והוכיח כי המתמטיקה שלו הייתה נכונה.
תובנות מתמטיות מסוג זה נמשכו זמן רב אחרי ניוטון. בסופו של דבר התחלנו ללמוד הרבה יותר על היקום עם כניסת הטכנולוגיה הטובה יותר (שהובאה על ידי ההתקדמות במתמטיקה). כשעברנו למאה ה -20, תאוריית הקוונטים החלה לקרום עור וגידים, ועד מהרה הבנו שהפיזיקה והמתמטיקה הניוטונית נראית כאילו לא מתגברת על מה שראינו ברמה הקוונטית. באירוע חשוב נוסף בהיסטוריה האנושית, ששוב הובא על ידי ההתקדמות במתמטיקה, חשף אלברט איינשטיין את תיאוריותיו בנושא היחס הכללי והמיוחד, שהייתה דרך חדשה להסתכל לא רק על כוח הכבידה, אלא
גם על האנרגיה והיקום בכלל. מה שהמתמטיקה של איינשטיין עשתה, אפשרה לנו לחשוף שוב דיאלוג עמוק עוד יותר עם היקום, בו התחלנו להבין את מקורותיו.
בהמשך למגמה זו של קידום הבנותינו, מה שהבנו הוא שעכשיו יש שתי כתות של פיזיקה שלא לגמרי מתיישרות. פיזיקה ניוטונית או "קלאסית", שעובדת בצורה יוצאת מן הכלל עם הגדולות מאוד (תנועות של כוכבי לכת, גלקסיות וכו '...) ופיזיקה קוונטית שמסבירה את הקטנות ביותר (אינטראקציות של חלקיקים תת-אטומיים, אור וכו' ...). נכון לעכשיו, שני תחומי הפיזיקה הללו אינם מיושרים, בדומה לשני ניבים שונים של שפה. הם דומים ושניהם עובדים, אך הם אינם ניתנים להשלים זה עם זה בקלות. אחד האתגרים הגדולים ביותר העומדים בפנינו כיום הוא ניסיון ליצור "תיאוריה של כל דבר" מתמטי, המאחד בין החוקים בעולם הקוונטי לזה של העולם המקרוסקופי, או לעבוד על מנת להסביר הכל רק במונחים של מכניקת הקוונטים. זו משימה לא קלה, אך בכל זאת אנו חותרים קדימה.
כפי שאתה יכול לראות, מתמטיקה היא יותר מסתם קבוצה של משוואות מעורפלות וכללים מורכבים שאתה נדרש לשנן. מתמטיקה היא שפת היקום, ובלימוד שפה זו אתה פותח לעצמך את מנגנוני הליבה שבאמצעותם פועל הקוסמוס. זה כמו לנסוע לארץ חדשה, ולאט לאט להרים את שפת האם כדי שתוכלו ללמוד מהם. מאמץ מתמטי זה הוא המאפשר לנו, מין הקשור למערכת השמש שלנו, לחקור את מעמקי היקום. נכון לעכשיו, פשוט אין לנו דרך לנסוע למרכז הגלקסיה שלנו ולהתבונן בחור השחור העל-מסיבי שיש בו כדי לאשר ויזואלית את קיומו. אין לנו אפשרות לצאת אל ערפילית אפלה ולצפות בזמן אמת בכוכב שנולד. עם זאת, באמצעות מתמטיקה אנו מסוגלים להבין כיצד הדברים הללו קיימים ועובדים. כשאתה עומד ללמוד מתמטיקה, אתה לא רק מרחיב את דעתך, אלא אתה מתחבר ליקום ברמה הבסיסית. אתה יכול, מהשולחן שלך, לחקור את הפיזיקה המדהימה באופק האירועים של חור שחור, או להעיד על הזעם ההרסני שמאחורי סופרנובה. כל אותם הדברים שציינתי בתחילת מאמר זה נכנסים למוקד באמצעות מתמטיקה. הסיפור המפואר של היקום כתוב במתמטיקה, והיכולת שלנו לתרגם את המספרים הללו לאירועים שכולנו אוהבים ללמוד עליהם אינה פחות ממדהימה. אז זכרו, כשמוצגת בפניכם האפשרות ללמוד מתמטיקה, קבלו כל חלק בזה מכיוון שמתמטיקה מחברת אותנו לכוכבים.
