מתמטיקאים מתקרבים יותר לפתרון בעיית מתמטיקה 'מיליון דולר'

האם צוות מתמטיקאים פשוט עשה צעד גדול לקראת תשובה לשאלה בת 160 מיליון מיליון דולר במתמטיקה?

אולי. הצוות אכן פתר מספר שאלות אחרות, קטנות יותר בתחום שנקרא תורת המספרים. ובכך, הם פתחו מחדש שדרה ישנה שעלולה להוביל בסופו של דבר לתשובה לשאלה הישנה: האם השערת רימן נכונה?

השערת ריימן היא השערה מתמטית בסיסית שיש לה השלכות עצומות על שאר המתמטיקה. זה מהווה את הבסיס לרעיונות מתמטיים רבים אחרים - אבל אף אחד לא יודע אם זה נכון. תוקפו הפך לאחת השאלות הפתוחות המפורסמות ביותר במתמטיקה. זו אחת משבע "בעיות המילניום" שהוצאו בשנת 2000, עם ההבטחה שמי שיפתור אותן יזכה במיליון דולר. (רק אחת הבעיות נפתרה מאז.)

מאין הגיע הרעיון הזה?

עוד בשנת 1859, מתמטיקאי גרמני בשם ברנהרד רימן הציע תשובה למשוואת מתמטיקה קוצנית במיוחד. ההשערה שלו הולכת כך: החלק האמיתי של כל אפס לא טריוויאלי בפונקציית רימן זיטה הוא 1/2. זו אמירה מתמטית מופשטת למדי, הקשורה לאילו מספרים אתה יכול להכניס לפונקציה מתמטית מסוימת כדי להפוך את הפונקציה הזו לאפס. אבל מסתבר שיש חשיבות רבה, והכי חשוב לגבי שאלות באיזו תדירות תיתקל במספרים ראשוניים כשאתה סופר לאינסוף.

נחזור לפרטי ההשערה בהמשך. אך הדבר החשוב לדעת כעת הוא שאם השערת רימן נכונה, היא עונה על הרבה שאלות במתמטיקה.

"לעתים קרובות כל כך בתורת המספרים, מה שבסופו של דבר קורה הוא אם אתה מניח את השערת רימן, אז אתה יכול להוכיח כל מיני תוצאות אחרות," לולה תומפסון, תאורטיקת מספרים במכללת אוברלין באוהיו, שלא הייתה מעורבת במחקר האחרון הזה, אמר.

לעתים קרובות, אמרה לליבי מדע, תיאורטיקנים מספרים יוכיחו תחילה שמשהו נכון אם השערת רימן נכונה. ואז הם ישתמשו בהוכחה הזו כמעין מדרכה לעבר הוכחה מורכבת יותר, מה שמראה שהמסקנה המקורית שלהם נכונה בין אם השערת רימן נכונה או לא.

העובדה שהטריק הזה עובד, היא אמרה, משכנעת מתמטיקאים רבים שההשערה של רימן חייבת להיות נכונה.

אבל האמת היא שאיש אינו יודע בוודאות.

צעד קטן לקראת הוכחה?

אז איך נראה שהצוות הקטן הזה של מתמטיקאים קירב אותנו לפתרון?

"מה שעשינו במאמרנו", אמר קן אונו, תיאורטיקן מספר באוניברסיטת אמורי ושותף למחבר ההוכחה החדשה, "האם נבחן מחדש קריטריון טכני מאוד שווה ערך להשערת רימן ... והוכחנו כי גדול הוכחנו נתח גדול מהקריטריון הזה. "

"קריטריון שקול להשערת רימן", במקרה זה, מתייחס לאמירה נפרדת שקולה מבחינה מתמטית להשערת רימן.

במבט ראשון לא ברור מדוע שתי ההצהרות קשורות כל כך. (הקריטריון קשור למשהו שנקרא "היפרבוליטיות של פולינומים של ג'נסן.") אבל בשנות העשרים של המאה הקודמת, מתמטיקאי הונגרי בשם ג'ורג 'פוליה הוכיח שאם קריטריון זה נכון, אז ההשערה של רימן נכונה - ולהפך. זהו מסלול ישן המוצע להצגת ההוכחה של ההשערה, אך דרך שננטשה ברובה.

אונו ועמיתיו, במאמר שפורסם ב21- במאי בכתב העת Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS), הוכיחו כי במקרים רבים, רבים, הקריטריון נכון.

אבל במתמטיקה, רבים אינם מספיקים כדי להיחשב כהוכחה. ישנם עדיין מקרים שאינם יודעים אם הקריטריון נכון או שקרי.

אונו אמר: "זה כמו לשחק פאוורבול בן מיליון ספרות." "ואתה יודע את כל המספרים פרט ל -20 האחרונים. אם אפילו אחד מ -20 המספרים האחרונים שגוי, אתה מפסיד ... זה עדיין יכול להתפרק."

החוקרים יצטרכו להמציא הוכחה מתקדמת עוד יותר כדי להראות שהקריטריון נכון בכל המקרים, ובכך להוכיח את השערת רימן. ולא ברור עד כמה רחוק הוכחה כזו, אמר אונו.

אז כמה גדול מדובר בעיתון?

מבחינת השערת רימן, קשה לומר עד כמה מדובר בעסקה גדולה. הרבה תלוי במה שקורה אחר כך.

"זו רק אחת מניסוחים רבים שווה ערך להשערת רימן," אמר תומפסון.

במילים אחרות, ישנם המון רעיונות אחרים שכמו קריטריון זה היו מוכיחים כי השערת רימן נכונה אם הם עצמם היו מוכחים.

"אז באמת קשה לדעת כמה התקדמות זו, מכיוון שמצד אחד התקדמות בכיוון הזה. אבל, יש כל כך הרבה ניסוחים שווה ערך, שאולי הכיוון הזה לא יביא להשערה של רימן. אולי אחד מתוך המשפטים האחרים המקבילים במקום, אם מישהו יכול להוכיח אחד מאותם, "אמר תומפסון.

אם ההוכחה תופיע לאורך מסלול זה, סביר להניח שזה אומר שאונו ועמיתיו פיתחו מסגרת חשובה בסיסית לפיתרון השערת רימן. אבל אם זה יופיע במקום אחר, אז יתברר שהמאמר הזה היה פחות חשוב.

ובכל זאת מתמטיקאים מתרשמים.

אנקריקו בומביירי, תיאורטיקן מספר פרינסטון שלא היה מעורב במחקר הצוות, כתב במאמר מלווה ב- 23 במאי PNAS, "למרות שזה נשאר רחוק מלהוכיח את השערת רימן, זה צעד גדול קדימה. "אין ספק שמאמר זה יעודד עבודה בסיסית נוספת בתחומים אחרים בתורת המספרים כמו גם בפיזיקה מתמטית."

(בומביירי זכה במדליית פילדס - הפרס היוקרתי ביותר במתמטיקה - בשנת 1974, בחלקו הגדול בעבודות הקשורות להשערת רימן.)

מה המשמעות של השערת רימן בכל מקרה?

הבטחתי שנחזור לזה. הנה שוב השערת רימן: החלק האמיתי של כל אפס לא טריוויאלי בפונקציית רימן זיטה הוא 1/2.

בואו נשבר את זה לפי איך שתומפסון ואונו הסבירו את זה.

ראשית, מה הפונקציה של רימן זיטה?

במתמטיקה, פונקציה היא קשר בין כמויות מתמטיות שונות. פשוט יכול להיראות כך: y = 2x.

הפונקציה של רימן זיטה פועלת לפי אותם עקרונות בסיסיים. רק שזה הרבה יותר מסובך. הנה איך זה נראה.

זהו סכום של רצף אינסופי, שבו כל מונח - המעטים הראשונים הם 1/1 ^ ש ', 1/2 ^ ש' ו -1 / 3 ^ ש '- מתווסף למונחים הקודמים. אליפסות אלה פירושן שהסדרה בפונקציה ממשיכה להימשך ככה, לנצח.

כעת אנו יכולים לענות על השאלה השנייה: מהו אפס בפונקציה ז'יטה של ​​רימן?

זה קל יותר. "אפס" של הפונקציה הוא כל מספר שתוכל להכניס עבור x הגורם לפונקציה להיות שווה לאפס.

השאלה הבאה: מה "החלק האמיתי" של אחד האפסים האלה, ומה המשמעות שהיא שווה ל- 1/2?

הפונקציה של רימן זיטה כוללת את מה שמתמטיקאים מכנים "מספרים מורכבים". מספר מורכב נראה כך: a + b * i.

במשוואה זו, "a" ו- "b" עומדים על כל מספר אמיתי. מספר אמיתי יכול להיות כל דבר בין מינוס 3, לאפס, עד 4.9234, pi, או מיליארד דולר. אבל יש סוג אחר של מספר: מספרים דמיוניים. מספרים דמיוניים מופיעים כשאתה משתרש את השורש הריבועי של מספר שלילי, והם חשובים, מופיעים בכל מיני הקשרים מתמטיים.

המספר הדמיוני הפשוט ביותר הוא השורש הריבועי של -1, שנכתב כ- "i". מספר מורכב הוא מספר אמיתי ("a") בתוספת מספר אמיתי אחר ("b") פעמים i. "החלק האמיתי" של מספר מורכב הוא ש"א. "

כמה אפסים מפונקציית ז'יטה של ​​רימן, מספרים שליליים בין -10 ל -0, אינם נחשבים להשערת ריימן. אלה נחשבים לאפסים "טריוויאליים" מכיוון שהם מספרים אמיתיים, לא מספרים מורכבים. כל שאר האפסים הם מספרים "לא טריוויאליים" ומסובכים.

ההשערה של רימן קובעת שכאשר הפונקציה של רימן זיטה חוצה אפס (למעט אותם אפסים בין -10 ל -0), החלק האמיתי של המספר המורכב צריך להיות שווה ל- 1/2.

הטענה הקטנה הזו אולי לא נשמעת חשובה במיוחד. אבל זה. וייתכן שאנחנו רק קצת יותר קרובים לפיתרון.